Ein kurzer Überblick über die gängigsten geschlossenen Regelungstechniken

Es gibt zwei grundlegende Arten von Steuerungstechniken:

• Steuerung (feed-foward control)
• Regelung  mit geschlossenem Regelkreis (closed-loop control)

Bei der Steuerung ist der Steuereingang in das System unabhängig vom Systemzustand oder dem Systemausgang (Messungen). Es wird keine Rückkopplung verwendet, um festzustellen, ob die gewünschte Leistung erreicht wurde. Ein einfaches Beispiel für ein solches System ist ein Lichtschalter, der von einer Person manuell ausgelöst wird oder der von einem Bewegungsmelder ausgelöst wird.

Bei der Regelung hingegen hängt der Steuereingang des Systems vom Zustand oder dem Ausgang des Systems ab. Diese Rückkopplung wird genutzt, um das gewünschte Ziel zu erreichen und die Abweichung von diesem Ziel zu minimieren. Ein einfaches Beispiel ist die Geschwindigkeitsregelung eines Autos, bei der die gemessene Geschwindigkeit als Rückmeldung verwendet wird, um die richtige Aktion zum Erreichen der gewünschten Geschwindigkeit zu bestimmen.

Das Ziel der Regelung ist es, das gewünschte Systemverhalten zu erreichen und die Stabilität auch bei Störungen und Modellfehlern zu gewährleisten. Wenn der Regler nicht richtig entworfen ist, hat der geschlossene Regelkreis im besten Fall eine schlechte Leistung zur Folge, im schlimmsten Fall kann sie stabile Systeme instabil machen. Daher erfordert die Regelung eine sorgfältige Analyse, um das gewünschte Systemverhalten zu erreichen.

C: Regler, P: Anlage, r: Sollwertvorgabe, e: Rückführungsfehler, u: Reglerausgang / Systemeingang, y: Systemnausgang

1. Klassische Regelungstheorie

Die klassische Regelungstheorie umfasst die am weitesten verbreiteten Regelungstechniken. Sie verdankt ihre Beliebtheit der Tatsache, dass sie am einfachsten zu verstehen ist und in vielen Fällen ein ausreichend gutes Systemverhalten liefert, das die zusätzlichen Kosten und den Aufwand für fortgeschritteneren Techniken nicht rechtfertigt.

Die überwiegende Mehrheit der Probleme kann mit ausreichender Genauigkeit in ein lineares zeitinvariantes (LTI) Single-Input-Single-Output-System (SISO) umgewandelt werden, dass die Grundlage für die klassische Regelungstheorie bildet. Selbst wenn ein System nichtlinear ist, kann es oft um den gewünschten Betriebspunkt herum linearisiert werden, was dann die Anwendung der klassischen Regelungstheorie ermöglicht.

LTI-SISO-Systeme können mit Hilfe der Laplace-Transformation in den Frequenzbereich transformiert werden, und es gibt mehrere Theorien und Werkzeuge, die die Analyse und den Entwurf geeigneter Regler ermöglichen:

• Nyquist-Diagramm: Hierbei handelt es sich um ein grafisches Werkzeug, das den Frequenzgang des offenen Regelkreises aufzeichnet und anhand des Nyquist-Stabilitätskriteriums eine Bewertung der Stabilität des geschlossenen Regelkreises ermöglicht. Es dient als Grundlage für Loop-Shaping Techniken.
• Bode-Diagramm: Hierbei handelt es sich ebenfalls um ein grafisches Werkzeug, das die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich betrachtet und die Amplitude sowie die Phasenverschiebung dargestellt. Es ermöglicht die Bewertung der Stabilität durch Betrachtung der Amplitudenreserve und der Phasenreserve des Open-Loop-Systems.
• Wurzelortskurve: Ein weiteres grafisches Werkzeug, das die Wurzeln der Übertragungsfunktion des Closed-Loop-Systems im Frequenzbereich anzeigt. Anhand der Darstellung lässt sich die Stabilität des Systems bestimmen.

1.1 PID

Der PID-Regler ist das in der Industrie am meisten verwendete Standard-Regelschema. Der Regler korrigiert die Regelstrecke auf der Grundlage des Proportionalfehlers P, des Integralfehlers I und des Differenzialfehlers D. Dieser Regler kann sowohl analog als auch digital implementiert werden.

Der große Vorteil des PID-Reglers liegt in seiner Einfachheit. In der Regel lässt sich der Einfluss der einzelnen Regelparameter auf den Systemausgang leicht nachvollziehen. Er kann daher vor Ort angepasst werden, wenn die Entwurfsparameter aus dem Labor nicht das gewünschte Verhalten in der Praxis ergeben. Außerdem gibt es heuristische Methoden wie Ziegler-Nichols oder Skogestad, mit denen akzeptable Regelparameter gefunden werden können, ohne dass ein mathematisches Modell des Systems erforderlich ist.

In der Praxis bietet der PID-Regler eine ausreichende Leistung und Stabilität für ein breites Spektrum von Systemen.

1.2 Loop-Shaping mit Lead-Lag-Kompensator

Ein Lead-Lag-Kompensator ist ein Regler, der im Frequenzbereich ausgelegt ist. In seiner einfachsten Form kann er zusammen mit einem Proportionalregler verwendet werden. Er kann aber auch als Erweiterung eines PID-Reglers verwendet werden, um das Verhalten im Frequenzbereich zu optimieren.

Die Grundidee des Lead-Lag-Kompensators besteht darin, den Bode-Plot des Open-Loop-Systems so zu gestalten, dass die Entwurfsbeschränkungen hinsichtlich der Übergangsfrequenz, der Amplitudenreserve und der Phasenreserve erfüllt werden. Für eine gute Befehlsverfolgung und eine gute Störungsunterdrückung muss der Betrag der Übertragungsfunktion bei niedrigen Frequenzen groß sein. Für eine gute Rauschunterdrückung muss der Betrag der Übertragungsfunktion bei hohen Frequenzen klein sein. Es können mehrere Lead- und Lag-Kompensatoren hinzugefügt werden, bis das gewünschte Verhalten erreicht ist.

1.2.1 Lead-Element

Ein Lead-Element wird in der Regel verwendet, um die Verstärkungsspanne zu erhöhen. Es hat eine geringere Amplitudenverstärkung bei niedrigen Frequenzen und fügt eine Phasenverschiebung um eine bestimmte Frequenz hinzu. Ein möglicher Nebeneffekt ist ein Anstieg der Amplitude bei hohen Frequenzen, so dass es rauschempfindlich ist. Es kann als eine Annäherung an einen PD-Regler betrachtet werden.

1.2.2 Lag-Element

Ein Lag-Element wird in der Regel verwendet, um die Befehlsverfolgung zu verbessern (Verringerung des stationären Fehlers) und Störungen zu unterdrücken. Es hat eine höhere Amplitudenverstärkung bei niedrigen Frequenzen und fügt eine Phasenverzögerung um eine bestimmte Frequenz hinzu. Ein möglicher Nebeneffekt ist daher die Verringerung der Phasenreserve. Ein Lag-Glied kann als eine Annäherung an einen PI-Regler betrachtet werden.

1.2.3 Pole-Zero-Platzierung

Die Idee des Hinzufügens von Lead- und/oder Lag-Kompensatoren kann noch einen Schritt weiter gehen. Pole und Nullstellen können in den Regler eingeführt werden, um den Frequenzgang des Systems im offenen Regelkreis zu formen, ohne die Einschränkung, dass ein Pol und eine Nullstelle zusammen hinzugefügt werden müssen, wie es bei den Lead- und Lag-Kompensatoren der Fall war. Diese Methode erfordert ein gutes Verständnis der Auswirkungen von Polen und Nullstellen auf das Systemverhalten.

Pole und Nullstellen sind ein Merkmal im Frequenzbereich. Die Pol-Null-Platzierung kann aber auch im Zeitbereich erfolgen, zum Beispiel mit einem modellbasierten Ansatz wie der Ackermann-Formel.

1.3. Erweiterungen

Anti-Reset Windup: Nahezu alle Systeme in der Praxis haben eine Begrenzung der Stellglieder, z. B. kann sich ein Ventil nur innerhalb bestimmter Grenzen bewegen. Der Reglerausgang in seiner Grundform berücksichtigt solche Begrenzungen jedoch nicht. In der Folge muss die Regelstruktur um ein Anti-Reset Windup erweitert werden.

Unter Reset Windup versteht man jede Art von unerwünschtem Reglerverhalten aufgrund von Stellgliedbegrenzungen. Im Falle eines PI-Reglers kann es beispielsweise vorkommen, dass der Reglerausgang das Ventil zu mehr als 100% öffnet. Der Integratorteil des PI-Reglers könnte möglicherweise weiter integrieren (und den Ausgang erhöhen), während der Ausgang eigentlich gesättigt (begrenzt) ist, was zu Schwingungen führt. Es ist daher wichtig, solche Begrenzungen zu berücksichtigen.

Gain Scheduling: Wird häufig für nichtlineare Systeme verwendet, die um verschiedene Arbeitspunkte herum linearisiert wurden. Für jeden Betriebspunkt kann ein anderer linearer Regler oder ein Satz von Regelparametern gewählt werden. Dies vereinfacht den Steuerungsentwurf, da nicht ein einziger Regler den gesamten Betriebsbereich abdecken muss.

Vorsteuerung: Wenn der Regeleingang eines Systems mit guter Genauigkeit für einen gewünschten Ausgang berechnet werden kann, ist es ratsam, einen Vorsteuerungsteil im Regler zu verwenden. Störgrößen und Sollwertänderungen verhalten sich oft unterschiedlich. Der vorsteuernde Teil des Reglers kann daher so ausgelegt werden, dass er auf Sollwertänderungen reagiert, und die Rückführung kann so ausgelegt werden, dass sie Störungen unterdrücken kann. Ohne die Vorsteuerung ist ein Kompromiss erforderlich, um die Störungen zu behandeln und dennoch angemessen auf Sollwertänderungen zu reagieren.

2. Optimale Regelung

Der Ansatz der optimalen Regelung in der Regelungstheorie versucht, einen Regler zu finden, der ein Optimalitätskriterium erfüllt. Dieses Kriterium ist eine Kostenfunktion in Abhängigkeit von den zu minimierenden Systemzuständen und Eingängen:

$$ J=F_{t_f} (x(t_0 )) + F_{tf} (x(t_f)) + ∫_{t_0}^{t_f} g(x(t),u(t),t)dt $$

Die Theorie der optimalen Regelung arbeitet im Zeitbereich, im Gegensatz zur klassischen Regelungstheorie, bei der die Systemanalyse und -optimierung im Frequenzbereich durchgeführt wird. Bei Systemen mit mehreren Eingängen und mehreren Ausgängen (MIMO) kann es schwierig oder sogar unmöglich sein, eine Systemanalyse im Frequenzbereich durchzuführen, insbesondere wenn ein Eingang einen starken Einfluss auf mehrere Ausgänge hat oder ein Ausgang von mehreren Eingängen beeinflusst wird. Für solche Systeme kann die Theorie der optimalen Steuerung einen geeigneteren Ansatz für die Suche nach einem Regler bieten.

Die Grundlage für die Optimierung ist die Zustandsraumdarstellung des Systems:

\( \dot{x}(t)=f(x(t),y(t),t) \)

\( y(t)=g(x(t),y(t),t) \)

2.1 LQR und LQG

Der LQR-Regler (linear-quadratischer Regler) ist ein zustandsrückgekoppelter Regler, der davon ausgeht, dass das System linear und zeitinvariant ist und dass alle Zustände in einem System messbar sind:

\( \dot{x}(t)=Ax(t) + Bu(t) \)

\( y(t)=Cx(t) + Du(t) \)

Der resultierende LQR-Regler ist ein linearer und zeitinvarianter Proportionalregler ohne interne Zustände. Die Systemzustände werden mit einer Matrix multipliziert, die das Ergebnis des Optimierungsproblems ist, das eine quadratische Kostenfunktion minimiert, daher der Name.

\( J = \int_{0}^{\infty} (x^T Qx + u^T Ru)dt \)

Für Systeme mit einem Eingang und einem Ausgang haben LQR-Regler eine hohe Verstärkungsspanne und eine Phasenspanne von >60°, so dass sie über gute Stabilitätseigenschaften verfügen.

Es gibt Versionen für einen endlichen oder unendlichen Zeithorizont und sowohl für den kontinuierlichen als auch für den diskreten Zeitbereich. Für die Problemformulierung im kontinuierlichen Zeitbereich mit unendlichem Zeithorizont (Kostenfunktion siehe vorheriger Abschnitt) kann das Regelgesetz analytisch mit der Ricatti-Gleichung berechnet werden.

Der LQG-Regler (linear-quadratic-gaussian Regler) ist eine Erweiterung des LQR-Reglers. In der Realität sind die Zustände eines Systems oft nicht messbar und können daher nicht rückgeführt werden. LQG fügt dem LQR-Regler einen Kalman-Filter (Beobachter) hinzu, der den Zustand eines Systems schätzt.

In seiner Grundform ist der LQG-Regler garantiert asymptotisch stabil, jedoch gibt es keine Garantien hinsichtlich der Robustheit (die Eigenschaften des LQR-Reglers mit hoher Amplitudenreserve und hoher Phasenreserve gehen verloren), und er unterdrückt im Allgemeinen kein Rauschen. Es gibt mehrere Erweiterungen, die den Regler verbessern können:

• Steuerung zur Verbesserung der Geschwindigkeit
• Erweiterung mit einem Integrator zur Verbesserung der Rauschunterdrückung
• Loop Transfer Recovery (LTR) zur Verbesserung der Robustheit.

3. Model predictive control

MPC versucht auch, eine Steuerungsstrategie zu finden, die eine Kostenfunktion minimiert, und ist daher technisch gesehen Teil der Theorie der optimalen Regelung. MPC löst das Optimierungsproblem online für einen zurückgehenden (receding) Zeithorizont. Diese Regelstrategie wird dann für einen Schritt verwendet, und die Optimierung wird erneut durchgeführt.

Wie der Name schon sagt, wird zur Lösung des Optimierungsproblems ein Systemmodell verwendet, das somit eine Vorhersagefähigkeit besitzt. Während LQR eine quadratische Kostenfunktion mit einem Regelgesetz hat, das durch Lösen einer Differentialgleichung gefunden wird, erlaubt MPC beliebige Kostenfunktionen, die in der Regel numerisch gelöst werden.

MPC ist oft mit erheblichem Aufwand verbunden und erfordert ein Systemmodell, das die interne Systemdynamik genau beschreibt. Das Optimierungsproblem muss in Echtzeit oder zumindest in regelmässigen Abständen gelöst werden, was seine Anwendung auf relativ langsame Systeme mit langen Abtastzeiten beschränkt.

Es hat sich vor allem in der Prozessindustrie bewährt, wo die klassische Steuerungstheorie keine zufriedenstellenden Ergebnisse liefert. Außerdem sind die Prozesse in der Regel relativ langsam, so dass das Optimierungsproblem in jedem Reglerschritt gelöst werden kann.

Wichtige Erweiterungen sind nichtlineare MPC und robuste MPC. Ersteres erlaubt die Verwendung nichtlinearer Systeme für die Optimierungsprobleme, das zu einem nichtkonvexen Problem führen kann, was die Suche nach einer numerischen Lösung erheblich erschwert. Ein weiterer beliebter Ansatz ist explizites MPC, bei der die Regelparameter offline vorberechnet werden und der Online-Regler die Regelparameter dann aus einer Tabelle erhält, was mathematisch trivial ist.

4. Robuste Regelung

Bei der robusten Regelung werden Unsicherheiten in der Anlage ausdrücklich berücksichtigt. Der Regler muss auch dann noch ordnungsgemäß funktionieren, wenn die Anlagenparameter nicht wie erwartet sind oder Störungen auftreten.

4.1 H-Infinity

Der H-Infinity-Regler ist die Lösung eines Optimierungsproblems, wie es im Abschnitt über die optimale Steuerung beschrieben wurde. Er versucht, einen optimalen Regler für eine bestimmte Kostenfunktion zu finden, indem er die Unendlichkeitsnorm dieser Kostenfunktion minimiert. Der Hauptunterschied zur LQR/LQG-Methode besteht in der Erweiterung des Problems um Frequenzbereichsspezifikationen.

Die Suche nach einer Lösung für das H-Infinity-Optimierungsproblem ist nicht trivial, und es gibt keine eindeutige Lösung. Oft ist es jedoch nicht notwendig, einen optimalen Regler zu entwerfen, sondern es reicht aus, einen Regler zu finden, der nahe am Optimum liegt (aber einfacher zu berechnen ist).

4.1.1 Mixed Sensitivity Loop-Shaping

Der Ansatz der Mixed Sensitivity führt Spezifikationen für den Frequenzbereich ein, die eine gute Störungsunterdrückung (kleine Sensitivity) und eine gute Rauschunterdrückung (kleine Complementary Sensitivityt) vorsehen. Es werden Gewichte eingeführt, die dazu dienen, den Regler auf das gewünschte Verhalten abzustimmen. In jeder Iteration des Loop-Shaping wird der Regler überprüft, ob er die erforderlichen Kriterien erfüllt, und die Gewichte werden für die nächste Iteration angepasst. Darüber hinaus werden für SISO-Systeme – wenn ein multiplikatives Unsicherheitsgewicht verfügbar ist – die robusten Leistungsbedingungen durch das Problem der Mixed Sensitivity stark angenähert.

Das Fachgebiet der Regelungstechnik bietet eine breite Palette von Werkzeugen und Theorien, um das gewünschte Systemverhalten zu erreichen. Der allgegenwärtige PID-Regler ist nach wie vor der beliebteste grundlegende Regelungsansatz, da er einfach zu implementieren ist und so eingestellt werden kann, dass er in einem breiten Spektrum von Anwendungen gut funktioniert. MPC ist ein aktives Forschungsgebiet und hat aufgrund seines Potenzials, komplexe Probleme zu lösen, viel Aufmerksamkeit erhalten, insbesondere mit der zunehmenden Verfügbarkeit von Rechenleistung.